期望值：為什麼創業者明知 90% 會失敗，還是值得創業？
朋友找你投資他的新創，說「成功的話 100 倍，失敗的話歸零」。 你的直覺會說「太冒險」，因為你看到的是「歸零」兩個字。 但職業投資人會在 30 秒內掏錢——他們算的不是「會不會贏」，是 expected value。
核心公式
E[X] = Σ p_i × x_i
把每個結果的「機率 × 報酬」加總，就是這個決策的長期平均值。
回到開頭那筆投資：投 200 萬，10% 機率成功賺 1 億、90% 機率歸零。0.1 × 100,000,000 + 0.9 × (−2,000,000) = +8,200,000。 期望值 +820 萬。從長期、大量決策的角度看，這是該按下去的牌。
四個情境的期望值對照
| 情境 | 勝率 | 賠率 | 期望值 |
|---|---|---|---|
| 樂透 | ≈ 0 | 數百萬倍 | 每注約 −50% |
| 車險 | 低機率出事 | 高賠付 | 對保戶 −10~20% |
| 創業 / VC 單筆 | 10% | 50~100 倍 | 正期望值 |
| 賭場輪盤 | 18/38 | 2 倍 | 每注 −5.26% |
這張表回答了一個經典問題：為什麼 VC 願意投一堆「90% 會死」的公司？ 因為單筆期望值是正的，分散投 30 家以上，幾乎一定能讓組合報酬接近期望值。 樂透與保險則相反——對買方而言期望值為負，但人們仍會買，因為「情緒效用」不等於金錢效用。
商務情境：每天都在用
- A/B test 決策：新版 +5% 轉換的機率 60%、−3% 機率 40%，期望值 +1.8%，該上線
- 定價：漲價 10% 留住 80% 客戶 vs 維持原價，期望營收 = 1.10 × 0.80 = 0.88，會掉 12%
- 風險投資組合：與其壓一支股票，不如分散在期望值都為正的標的上
- 職涯選擇：穩定大公司「年薪 250 萬 × 100%」vs 新創「成功年薪 1000 萬 × 30% + 失敗回到 200 萬 × 70% = 440 萬」
Kelly criterion：算出「該壓多少」
知道期望值是正的還不夠——壓多少倉位才不會被一次失敗清光？ Kelly criterion 給出最佳比例：
f* = (bp − q) ÷ b
b 是賠率、p 是勝率、q = 1 − p。
以「勝率 60%、賠率 1:1」為例：(1 × 0.6 − 0.4) ÷ 1 = 20%。 每次只壓總資金 20%，長期成長率最大。多數職業投資人實務上用「半 Kelly」來降低波動。
常見誤解：期望值不是你會經歷的
- 「期望值」不是平均結果——它是無限次嘗試的長期平均。 人活一次、創業一次，根本不會經歷期望值。所以正期望值還要搭配「能承受多少次失敗」一起看。
- 負期望值有時值得——買保險的期望值是負的，但能避免破產。 金錢的邊際效用是遞減的：失去 100 萬比賺到 100 萬的痛苦更深，所以理性人也會接受負期望值的保險。
- 機率估計錯，整個算式就錯——期望值的最大風險不是公式錯，是 p_i 估錯。 「成功率 10%」這個數字往往是創業者一廂情願。
練習：反向題
已知：你願意接受一個賭局，要求期望值至少 +10 萬、勝率 20%、輸了損失 5 萬。 問：賠率（贏了賺多少）至少要多少？
設贏的金額為 x。0.2 × x + 0.8 × (−50,000) ≥ 100,000→ 0.2x ≥ 140,000 → x ≥ 700,000。 至少要能賺 70 萬，這場才值得玩。
下次有人對你說「機會難得、報酬可觀」，請當場拿出這條公式： 機率多少？輸了損失多少？兩個數字一乘，就知道對方在賣機會還是賣夢。