概念補充
每篇都從一個職場情境開始——PM、創業者、投資人、行銷主管會遇到的具體問題——再帶出背後的數學直覺。
商業與財務數學
10 篇 · 預告 6複利、折現、PV/FV、NPV、IRR、Duration、估值、現金流——看懂錢、看懂公司、看懂投資。
72 法則：心算複利翻倍時間
3 分鐘用「72 ÷ 年利率 = 翻倍年數」一招，30 秒判斷投資、通膨、債務的長期樣貌。
投資人最常用的單一估算法。3% → 24 年翻倍、7% → 10 年、10% → 7 年。
複利到底有多可怕？單利 vs 複利的長期差距
4 分鐘為什麼複利被稱為「世界第八大奇蹟」也是最危險的債務陷阱。30 年差距示範。
100 萬 / 5% / 30 年 → 單利 250 萬，複利 432 萬。差距 73%。
CAGR 與月成長率反推
4 分鐘為什麼算術平均會高估成長率？如何用幾何平均算出真實的 CAGR 與月成長率。
12 個月成長 20% ≠ 月均 1.67%（其實是 1.53%）。差異來自複利效應。
費雪近似：你的錢真的在增值嗎？
3 分鐘用「實質 ≈ 名目 − 通膨」3 秒看穿名目報酬陷阱，搭配精確版費雪方程處理高通膨情境。
定存 2% 遇上通膨 3%，實質報酬其實是 −1%。
漲跌不對稱：跌 50% 要漲 100% 才回本
3 分鐘為什麼跌 50% 要漲 100% 才回本？理解漲跌不對稱公式，建立風控優先的商業直覺。
跌 80% 要漲 400%。漲跌幅度永遠不對稱 — 這就是為什麼避免大跌比追求大漲更重要。
加成 vs 毛利：商務人最常算錯的關係
4 分鐘加成率與毛利率的分母不同，同一筆交易加成 25% 其實只有毛利 20%。
加成 25% → 毛利率 20%（不是 25%）。換算表一次看懂兩者的不對稱關係。
平台抽成的真實成本：你實得多少？
4 分鐘平台抽 30% + 刷卡 3% + 稅 5% 不是相加 38%，是連乘 35.45%。
標價 $100、扣完 App Store 30% + 刷卡 3% + 稅 5%，實得 $64.55。
折現率：今天的一百萬，憑什麼比十年後的一百萬值錢？
5 分鐘折現率是商業估值最重要的單一概念。看懂它，你才看得懂任何投資、估值、債券。
折現率 10%、十年後 100 萬，現值約 38.6 萬。利率越高，未來的錢越不值錢。
現值 PV：未來的錢怎麼折回今天
4 分鐘投資人說「五年後值一億」，今天到底值多少？PV 公式 30 秒給你答案。
PV = FV ÷ (1+r)^n。1 億 / 5 年 / 折現率 15% → 現值約 4,972 萬。
NPV：一個專案到底值不值得做
6 分鐘把所有未來現金流折回今天加總，NPV > 0 就值得投。創業、併購、買設備都用得到。
NPV = Σ CF_t / (1+r)^t − 初始投資。正值就做、負值就拒。
▸展開「即將推出」（6 篇）
AI 時代必懂的數學
3 篇 · 預告 7向量、機率、貝葉斯、熵、梯度下降、cosine similarity、embedding、attention——AI 不再是黑盒。
向量是什麼？為什麼 embedding 能代表語意
5 分鐘把語意變成空間中的方向。職場大人最快理解 AI 的入口。
「king − man + woman ≈ queen」就是把語意當成可加減的向量。
機率基礎：為什麼 LLM 本質上在預測下一個 token
5 分鐘GPT 不是在「思考」，是在算機率。理解這點，你才看得懂 AI 真正能做什麼。
P(下一個 token | 前文) 才是 LLM 的本體；溫度、top-p 都是在動這個分布。
貝葉斯定理：怎麼用證據更新判斷
6 分鐘先驗 + 證據 → 後驗。理性更新信念的數學，也是 AI 推理的底層邏輯。
篩檢準確率 99%、盛行率 1% → 陽性後真正得病的機率只有 50%。
▸展開「即將推出」（7 篇）
決策與管理數學
8 篇 · 預告 8期望值、貝氏、賽局、80/20、相關 vs 因果、抽樣偏誤——商業判斷的底層工具。
SaaS 單位經濟：MRR / ARR / Churn / LTV
5 分鐘看懂 SaaS 公司的核心指標關係：每月經常性收入、流失率、客戶終生價值。
LTV ≈ ARPU ÷ 月 churn。$50 ARPU + 3% churn → LTV ≈ $1,667。
損益平衡點：每個月要做多少才不賠錢
4 分鐘用「固定成本 ÷ 單位毛利」三秒算出每月生存底線，附咖啡店、SaaS、線上課程實例。
BEP = 固定成本 ÷ 單位毛利，咖啡店月固定 $80,000、單位毛利 $80 → 1,000 杯打平。
轉換漏斗的數學：小百分比的累積威力
4 分鐘用連乘思維看漏斗：CTR、註冊率、付費率乘起來才是真實轉換，找出斷點與反推訪客數。
1000 訪客 × 5% 註冊 × 30% 付費 = 15 人。
回本期：投資決策最快的直覺判斷法
4 分鐘用「投資 ÷ 月增現金流」公式 30 秒判斷一個案子值不值得做。
3 個月內強訊號、12 個月正常、超過 3 年幾乎不要碰。
ROAS 不等於賺錢：廣告投資的真相
5 分鐘ROAS 是營收除以花費不是利潤，毛利率 25% 時 BE-ROAS 要 4x 才打平。
BE-ROAS = 1 ÷ 毛利率，毛利率 25% 至少要 4x 才打平。
加權平均的盲點：為什麼整體數字常常騙人
5 分鐘為什麼不能直接平均兩個百分比？從錄取率、churn 到毛利率，搞懂加權平均與 Simpson 矛盾。
兩部門錄取率 30% 與 60% 整體不是 45% 而是 50%；流量配置一變，整體轉換率反而下降。
期望值：為什麼創業者明知 90% 會失敗，還是值得創業？
5 分鐘期望值不是直覺，但會改變你做職涯與商業決策的方式。
成功 10% × 賺 1 億 + 失敗 90% × 損失 200 萬 = 期望值 +820 萬。
標準差：用一個數字描述「波動」
5 分鐘為什麼風險用標準差量化？看懂它，你才看得懂股票、廣告、A/B test。
兩支基金年化都 8%，但標準差 10% vs 25% 是天差地遠的風險。
▸展開「即將推出」（8 篇）
重新訓練大腦的數學
4 篇心算技巧、百分比直覺、數字感——畢業十年後最先要找回的能力。
百分比心算三招
3 分鐘10% 移小數點、1% 法、X% of Y = Y% of X。商務情境最高 ROI 的心算技巧。
最強對稱技巧：18% × 50 不會算？反過來 50% × 18 = 9，秒解。
比例放大與年化思考（Run Rate）
3 分鐘月 → 年 ×12、季 → 年 ×4、日 → 年 ×365。何時能直接放大、何時會誤判。
Run rate 是強大的工具，但季節性業務直接 ×12 會嚴重失真。
折扣連乘：8 折再打 9 折不是 8.5 折，是 7.2 折
3 分鐘多重折扣是相乘不是平均。30 秒看穿商家雙重折扣話術。
8 折再 9 折真實是 7.2 折。
小百分比近似：兩個小變動相乘，直接相加就好
3 分鐘商務心算最高 CP 值的一招 — (1+a)(1+b) ≈ 1+a+b，2 秒判斷漲跌、折扣、複利、實質報酬。
漲 5% 後跌 5% 不是打平而是虧 0.25%；客單價漲 5%、銷量跌 3% 約 +2%。
準備好了？
每天 10 分鐘，把職場大人的數字感練回來。
開始今日訓練 →