標準差：用一個數字描述「波動」
理專拿出兩支基金的 DM：A 基金過去 10 年年化 8%、B 基金也是年化 8%。 看起來一模一樣對吧？但 A 的 standard deviation 是 10%、B 是 25%。 這不是「差不多風險」——這是天差地遠，搞不好還會讓你睡不著覺。
標準差在量化什麼？
先用一句話：standard deviation 是「資料偏離平均值的平均距離」。 數字大代表資料很散、波動很大；數字小代表大家都擠在平均附近、很穩。 它不只是統計學課本的東西——金融、廣告、A/B test、SLA、薪資談判，背後都是它。
核心公式
σ = √( Σ(x_i − μ)² ÷ n )
每個資料點減平均、平方、加總、除以個數、開根號。
為什麼要平方再開根號？因為直接取「平均距離」會被正負號互相抵消。 平方讓所有偏離都變正、且放大極端值的影響，最後開根號把單位變回原本的尺度。 它的近親 variance（變異數）就是 σ²，少了開根號這一步。
常態分布的 1σ / 2σ / 3σ
當資料近似常態分布，標準差直接告訴你「事情多反常」：
| 區間 | 佔比 | 白話 |
|---|---|---|
| μ ± 1σ | ≈ 68% | 三分之二的日常情況 |
| μ ± 2σ | ≈ 95% | 該開始警覺的範圍 |
| μ ± 3σ | ≈ 99.7% | 超出就是極端事件 |
| μ ± 6σ | ≈ 99.9999998% | 製造業的品管目標 |
這就是為什麼大家常說「2 sigma event」、「3 sigma 以上才下結論」。 A/B test 的「統計顯著」門檻 p < 0.05，本質上就是「差距大於 ≈ 2σ」。
Sharpe ratio：把報酬除以風險
回到開頭兩支基金：報酬一樣、波動差 2.5 倍。哪支才是好標的？ Sharpe ratio 把這個問題量化了：
Sharpe = (報酬 − 無風險利率) ÷ 標準差
假設無風險利率 2%、A 基金 σ=10% → Sharpe = (8−2)/10 = 0.6。 B 基金 σ=25% → Sharpe = (8−2)/25 = 0.24。 A 基金「每承擔 1 單位風險換到的超額報酬」是 B 的 2.5 倍。 專業投資人比較標的時，看的是 Sharpe，不是單看報酬。
商務情境：到處都有它
- 股票風險：年化波動度（annualized volatility）就是日報酬的標準差 × √252
- 廣告 ROAS 波動：兩個 campaign 平均 ROAS 都 3，但一個 σ=0.3 一個 σ=1.5——後者要小心，可能下個月就崩
- A/B test 顯著性：差距要大於兩組合併的標準誤的 2 倍，才能說「真的有差」
- SLA / 服務品質：API 平均回應 100ms，σ=20ms 還能接受；σ=200ms 代表偶爾會卡到客戶投訴
- 薪資分布：平均年薪 200 萬、σ 30 萬 vs σ 150 萬，後者代表內部極度不平均
常見誤解：σ 不是萬能
- σ 不是「平均偏差」——它是「平方平均」再開根號，會放大極端值。 想要直觀的平均距離，要用 mean absolute deviation（MAD），但 MAD 在數學處理上沒 σ 方便。
- 極端值會讓 σ 爆炸——10 個人收入都 100 萬、加一個 1 億，標準差會被那一個值主導。 遇到偏態資料，中位數 + IQR 比平均 + σ 更可信。
- 非常態分布時 σ 會誤導——比特幣價格、新創估值、長尾流量都不是常態。 硬套 1σ ≈ 68% 會嚴重低估「黑天鵝」的機率，這就是 Taleb 反覆警告的事。
練習
兩個業務團隊，每月成單數如下：
- 團隊 A：18, 20, 22, 19, 21（平均 20）
- 團隊 B：5, 35, 10, 40, 10（平均 20）
兩隊平均一樣，但你會選誰當主管？ 算一下 σ：A ≈ 1.41、B ≈ 14.6。 B 的波動是 A 的 10 倍——可能是「偶爾爆單但常常掛蛋」的類型，視商業模式而定，可能是高風險高報酬，也可能只是不穩定。
下次別人只給你一個「平均值」，請反問一句：「那標準差呢？」 一個數字看不出真相，兩個才看得出來。