商業與財務數學6 分鐘閱讀
NPV：一個專案到底值不值得做
工廠老闆問你：「花 300 萬買一台機器，未來五年每年可以多賺 80 萬，要買嗎？」 直覺算 80×5 = 400 萬，扣掉 300 萬還賺 100 萬，看起來划算。 但用 10% 折現率算下來，這個案子的 NPV 只有 3.3 萬——幾乎在損益邊界。 NPV 把所有未來現金流折回今天再加總， 它告訴你的不是「會賺多少」，而是「跟把錢拿去做別的事比，這個案子多賺多少」。
核心公式
NPV = Σ CFt ÷ (1+r)t − 初始投資
- CFt：第 t 期的 cash flow（淨現金流）
- r：折現率，反映機會成本與風險
- 把每一期的 PV 加總，再扣掉今天就要付的初始投資
實戰：300 萬機器案
初始投資 300 萬、每年 CF = 80 萬、共 5 年、折現率 r = 10%：
| 年 | 現金流 | 折現因子 | PV |
|---|---|---|---|
| 0 | −300 萬 | 1.000 | −300.0 萬 |
| 1 | +80 萬 | 0.909 | 72.7 萬 |
| 2 | +80 萬 | 0.826 | 66.1 萬 |
| 3 | +80 萬 | 0.751 | 60.1 萬 |
| 4 | +80 萬 | 0.683 | 54.6 萬 |
| 5 | +80 萬 | 0.621 | 49.7 萬 |
| NPV | +3.3 萬 | ||
NPV = 3.3 萬，剛好正值，理論上「值得做」，但安全邊際非常薄。 只要折現率上修到 11% 或現金流少 1 萬，NPV 就翻負——所以實務上會嫌這案子不夠誘人。
NPV 決策規則
- NPV > 0：值得做，因為它創造的價值高於機會成本
- NPV < 0：拒絕，把錢拿去做機會成本那件事比較划算
- NPV = 0：剛好打平，要不要做看策略，不只看財務
- 互斥案（同預算只能挑一個）：選 NPV 最大的那個，不是 IRR 最高的
NPV 與 IRR 的關係
IRR (Internal Rate of Return) 就是讓 NPV = 0 的那個折現率。 上面那個案子 IRR ≈ 10.4%，剛好略高於 10% 的資金成本，所以 NPV 微正。 IRR 是一個直覺的「年化報酬率」指標，但 NPV 才是真正決定要不要做的依據—— 因為 IRR 高的小案子，賺的絕對金額可能還不如 IRR 中等的大案子。
商務情境
- 資本支出：買機器、蓋廠、換 ERP 系統，全部用 NPV 評估
- 併購估值：把標的未來自由現金流折現，就是 DCF 估值的核心
- 產品線投資：開新產品線、進新市場，跟維持現狀比 NPV 增量
- SaaS 客戶經濟：CAC 是初始投資、LTV 是未來現金流，本質就是一個 NPV 問題
- 租賃 vs 自購：兩條現金流路徑算 NPV，數字大的勝
常見誤解
- 把回本期當 NPV：回本期不考慮折現、也不算回本後賺多少，只能當輔助指標
- 忽略殘值：機器五年後賣得掉的錢、品牌賣斷的價值，都要加在最後一期
- 用錯折現率：穩定老業務用 8%、新事業用 20%，混用會讓爛案子看起來很美
- 只看 IRR 不看規模：兩個案子 IRR 一樣，但賺 100 萬跟賺 1 億的差距是真實的
練習：折現率敏感度
同樣那台機器（初始 300 萬、每年 80 萬、5 年），不同 r：
| 折現率 | NPV | 結論 |
|---|---|---|
| 5% | +46.4 萬 | 明顯值得 |
| 8% | +19.4 萬 | 還不錯 |
| 10% | +3.3 萬 | 邊界 |
| 12% | −11.6 萬 | 不值 |
| 15% | −31.7 萬 | 明顯不值 |
同一個案子，折現率從 5% 變 15%，結論從「明顯該做」翻到「明顯不該做」。 所以下次有人給你一份 NPV 報告，第一個要問的問題永遠是：你用的折現率是多少？為什麼是這個數字？